"PONCELET 3. Con esto ya se puede ensayar bien visualmente. Solo falta arregl~
ar el à conveniente"

"Otra forma de experimentar: Hallo el conjunto de las dos rectas por (a,b) ta~
ngentes a x^2+y^2=1"

y=b+m*(x-a)

x^2+y^2-1=0

;Sub(#4)
x^2+(b+m*(x-a))^2-1=0

;Simp(#5)
x^2*(m^2+1)+2*m*x*(b-a*m)+a^2*m^2-2*a*b*m+b^2-1=0

EXPAND(x^2*(m^2+1)+2*m*x*(b-a*m)+a^2*m^2-2*a*b*m+b^2-1=0,Rational,x)

;Simp(#7)
x^2*(m^2+1)+2*m*x*(b-a*m)+a^2*m^2-2*a*b*m+b^2-1=0

(2*m*(b-a*m))^2-4*(m^2+1)*(a^2*m^2-2*a*b*m+b^2-1)=0

a^2*m^2-2*a*b*m+b^2-m^2-1=0

;Sub(#10)
a^2*((y-b)/(x-a))^2-2*a*b*((y-b)/(x-a))+b^2-((y-b)/(x-a))^2-1=0

;Simp(User)
x^2*(b^2-1)-2*a*b*x*y+2*a*x+y^2*(a^2-1)+2*b*y-a^2-b^2=0

"Este es el conjunto de las dos rectas que pasan por (a,b) y son tangentes al~
 circulo"

"Si aqui pongo x=u+a, y=v+b, resulta"

;Simp(User)
a^2*v^2-2*a*b*u*v+b^2*u^2-u^2-v^2=0

"Si pongo v=pu, obtengo las pendientes"

;Simp(User)
[p=(SQRT(a^2+b^2-1)+a*b)/(a^2-1),p=(SQRT(a^2+b^2-1)-a*b)/(1-a^2)]

"De aqu¡ salen las dos rectas y cada una tiene una sola intersecci¢n con una ~
circunferencia que pasa por (a,b)"

"ESTA CREO QUE ES LA FORMA."

"************************************"

"Experimento con (a,b)=(2,3)"

;Simp(User)
8*x^2+4*x*(1-3*y)+3*y^2+6*y-13=0

"Lo pinto y va bien"

"***************************"

y=b+(SQRT(a^2+b^2-1)+a*b)/(a^2-1)*(x-a)

(x-alpha)^2+y^2=(a-alpha)^2+b^2

;Sub(User)
((u+a)-alpha)^2+(b+(SQRT(a^2+b^2-1)+a*b)/(a^2-1)*((u+a)-a))^2-((a-alpha)^2+b^~
2)=0

;Simp(#27)
(u*SQRT(a^2+b^2-1)+a^2*b+a*b*u-b)^2/(a^2-1)^2+2*a*u-2*alpha*u-b^2+u^2=0

;Solve(#28,u)
[u=0,u=-2*(b*(a^2-1)*SQRT(a^2+b^2-1)+a^5-a^4*alpha+a^3*(b^2-2)+2*a^2*alpha+a*~
(1-b^2)-alpha)/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^4+a^2*(b^2-1)+b^2)]

"YA ESTA AQUI"

;Simp(User)
x=(2*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^5+2*a^4*alpha+a^3*(3-b^2)-4*a^2*alpha+a*(3*b^2-2)+2*~
alpha)/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^4+a^2*(b^2-1)+b^2)

;Simp(User)
y=-(2*SQRT(a^2+b^2-1)*(a^3-a^2*alpha+a*(b^2-1)+alpha)+a^4*b-2*a^3*alpha*b+a^2~
*b*(b^2+1)+2*a*alpha*b+b*(b^2-2))/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^4+a^2*(b^2-1)+b^2)

"Parece que esto va ya bien"

"Estas son las coordenadas de uno de los puntos en que las tangentes cortan a~
l circulo exterior"

"Para el otro analogamente"

y=b+(SQRT(a^2+b^2-1)-a*b)/(1-a^2)*(x-a)

(x-alpha)^2+y^2-((a-alpha)^2+b^2)=0

;Simp(User)
x=(2*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^5-2*a^4*alpha+a^3*(b^2-3)+4*a^2*alpha+a*(2-3*b^2)-2*~
alpha)/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^4+a^2*(1-b^2)-b^2)

;Simp(User')
y=b+2*(SQRT(a^2+b^2-1)-a*b)*(b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^3+a^2*alpha+a*(1-b^2)-alpha)~
/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^4+a^2*(1-b^2)-b^2)

"Este es el otro punto"

"Los ponemos breves para manejarlos"

PUNTO1INTER(a,b,alpha):=[(2*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^5-2*a^4*alpha+a^3*(b^2-3)+4*a~
^2*alpha+a*(2-3*b^2)-2*alpha)/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^4+a^2*(1-b^2)-b^2),b+2~
*(SQRT(a^2+b^2-1)-a*b)*(b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^3+a^2*alpha+a*(1-b^2)-alpha)/(2*a~
*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^4+a^2*(1-b^2)-b^2)]

PUNTO2INTER(a,b,alpha):=[(2*b*SQRT(a^2+b^2-1)-a^5+2*a^4*alpha+a^3*(3-b^2)-4*a~
^2*alpha+a*(3*b^2-2)+2*alpha)/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^4+a^2*(b^2-1)+b^2),-(2~
*SQRT(a^2+b^2-1)*(a^3-a^2*alpha+a*(b^2-1)+alpha)+a^4*b-2*a^3*alpha*b+a^2*b*(b~
^2+1)+2*a*alpha*b+b*(b^2-2))/(2*a*b*SQRT(a^2+b^2-1)+a^4+a^2*(b^2-1)+b^2)]

RECTAINTER(a,b,alpha):=(y-(PUNTO1INTER(a,b,alpha)) SUB 2)-(x-(PUNTO1INTER(a,b~
,alpha)) SUB 1)*((PUNTO2INTER(a,b,alpha)) SUB 2-(PUNTO1INTER(a,b,alpha)) SUB ~
2)/((PUNTO2INTER(a,b,alpha)) SUB 1-(PUNTO1INTER(a,b,alpha)) SUB 1)=0

MACROPONCE(a,b,alpha):=[x^2+y^2=1,[a,b],(x-alpha)^2+y^2=(a-alpha)^2+b^2,x^2*(~
b^2-1)-2*a*b*x*y+2*a*x+y^2*(a^2-1)+2*b*y-a^2-b^2=0,RECTAINTER(a,b,alpha)]

MACROPONCE(3,5,2)

;Approx(#46)
[x^2+y^2=1,[3,5],x^2-4*x+y^2+4=26,24*x^2+6*x*(1-5*y)+8*y^2+10*y-34=0,20000000~
/10214397*10^(-8)*(6.221495*10^7*x+9*(5.674665*10^6*y+2.9095556*10^7))=0]

VECTOR(MACROPONCE(2+3*COS(t),2+3*SIN(t),2),t,0,2*pi,5)

"Va bien"

"***************************"

"La relaci¢n para que salga el teorema de Poncelet es"

alpha^2=r*(r-2)

"siendo r el radio del circulo circunscrito, es decir"

r=SQRT((a-alpha)^2+b^2)

"de donde"

alpha=(SQRT(a^4+2*a^2*b^2+b^2*(b^2-4))-a*(a^2+b^2-2))/(2*(1-a^2))

"Se comprueba para a=2, b=5"

;Sub(#56)
alpha=(SQRT(2^4+2*2^2*5^2+5^2*(5^2-4))-2*(2^2+5^2-2))/(2*(1-2^2))

;Approx(#58)
alpha=54026/12105

MACROPONCE(2,5,4.46311)

"************************************"

"Definiremos"

beta(a,b):=(SQRT(a^4+2*a^2*b^2+b^2*(b^2-4))-a*(a^2+b^2-2))/(2*(1-a^2))

"Como el radio es"

R(a,b):=SQRT((a-beta(a,b))^2+b^2)

"podemos poner"

MACROPONCELET(a,b):=VECTOR(MACROPONCE(beta(a,b)+R(a,b)*COS(t),R(a,b)*SIN(t),b~
eta(a,b)),t,pi/12,2*pi,pi/4)

"Se repiten demasiadas cosas y por eso va un poco despacio, pero esta bien"

MACROPONCELET(3,0)

MACROPONCELET(3,1)

"Se puede arreglar para este caso de Poncelet el MACROPONCE"

"Tambien se puede hacer que aparezcan los segmentos y no las rectas. Confusio~
n y barullo."

"Vendria bien que se pudieran borrar los triangulos cuando salen otros.."